\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{Distanz Punkt-Ebene im $\mathbb{R}^k$}
\author{Viktor Engelmann}
\date{}
\begin{document}
\maketitle


Gegeben sei eine $k-1$-dimensionale Hyperebene in Hesse'scher Normalform $E=(x-p)\cdot n=0$ und
ein Punkt $q$. Bestimmt werden soll der Abstand $d$ von $q$ zu $E$. Dieser entspricht natürlich dem
Abstand von $q$ zu demjenigen Punkt $q'$ der Ebene, der senkrecht unter $q$ liegt.\\

\fbox{\parbox{\linewidth}{
Dass jeder andere Punkt der Ebene einen größeren Abstand zu $q$ hat ist leicht mit dem Satz des Pythagoras zu
sehen (der auch im $\mathbb{R}^k$ gilt): wenn $a$ der Abstand von $q$ zu $q'$ ist und $b$ der Abstand von $q'$ zu $q''$ (wobei $q''$ ein beliebiger
Punkt auf der Ebene ist, der $\neq q'$ ist $\Rightarrow b> 0$), dann ist der Abstand von $q''$ zu $q$ gleich $\sqrt{a^2+b^2}$, was aufgrund der
Monotonie der Wurzel $>\sqrt{a^2}=a$ ist, weil $a^2+b^2>a^2 \Leftarrow b>0$
}}\\

Um den Abstand von $q$ zu $E$ zu bestimmen, bestimmen wir also 
den Abstand von $q$ zu $q'$. $q'$ ist leicht zu finden, da wir den Normalenvektor $n$ kennen, mit dem wir von $q$ aus eine zu $E$
senkrechte Gerade aufstellen können und nur ihren Schnittpunkt mit $E$ bestimmen müssen:

$q'=q+kn$ für ein $k$ und $(q'-p)\cdot n=0$, also bestimme das $k$ für das \mbox{$(q+kn-p)\cdot n=0$} gilt.
Da $\mathbb{R}^k$ ein Prähilbertraum ist, gilt 
\[ (q+kn-p)\cdot n=qn+kn^2-pn \]
also:
\begin{eqnarray*}
qn+kn^2-pn&=&0\\
\Leftrightarrow k&=& \frac{pn-qn}{n^2}\\
\Leftrightarrow k&=&\frac{pn-qn}{|n|^2}\textrm{ weil $n^2=|n|^2$}\\
\end{eqnarray*}

Da $q'=q+kn$ ist, ist der Abstand von $q$ zu $q'$ gerade die Länge von $kn$, was in Prähilberträumen
$=|k|\cdot|n|$ ist. Also ist

\[ d =  \left|\frac{pn-qn}{|n|^2}\right|\cdot|n| \]

Da $|n|^2 \ge 0$, wird der Bruch nur negiert, wenn der Zähler $<0$ ist. Deshalb kann man den Betrag
auch in den Zähler ziehen:

\[ d = \frac{|(p-q)n|}{|n|^2}\cdot |n| = \frac{|(p-q)n|}{|n|} \]

\end{document}







